Question

【題目】某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組： ，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；
（Ⅱ）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40,50）內的人數；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．

Answer 1

【答案】解：(I)由頻率分布直方圖知，
分數在 的頻率為 ，
分數在 的頻率為 ，
則分數小于70的頻率為 ，
故從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率為 .
(Ⅱ)由頻率分布直方圖知，
樣本中分數在區間 的人數為 (人)，
已知樣本中分數小于40的學生有5人，
所以樣本中分數在區間 內的人數為 (人)，
設總體中分數在區間 內的人數為 ，
則 ，得 ，
所以總體中分數在區間 內的人數為20人.
(Ⅲ)由頻率分布直方圖知，
分數不小于70的人數為 (人)，
已知分數不小于70的男女生人數相等，
故分數不小于70分的男生人數為30人，
又因為樣本中有一半男生的分數不小于70，
故男生的頻率為： ，
即女生的頻率為： ，
即總體中男生和女生人數的比例約為：
【解析】本題主要考查頻率分布直方圖，以及用樣本估計總體。（1）主要根據頻率分布直方圖中的頻率=組距×高，可得分數小于70的概率。（2）先計算樣本中分數在區間【50,90】之間的人數，分別計算【40,50】之間的，小于40的人數，進而求出總體中【40,50】之間的人數。（3）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等，根據頻率分布直方圖即可求出答案。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用頻率分布直方圖和用樣本的頻率分布估計總體分布的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；樣本數據的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數據在樣本容量中所占比例大小來表示數據的分布規律，它可以讓我們更清楚的看到整個樣本數據的頻率分布情況，并由此估計總體的分布情況．