Question

5．設函數f（x）是二次函數，若f（x）e^x的一個極值點為x=-1，則下列圖象不可能為f（x）圖象的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 先求出函數f（x）e^x的導函數，利用x=-1為函數f（x）e^x的一個極值點可得a，b，c之間的關系，再代入函數f（x）=ax²+bx+c，對答案分別代入驗證，看哪個答案不成立即可．

解答 解：由y=f（x）e^x=e^x（ax²+bx+c）⇒y′=f′（x）e^x+e^xf（x）=e^x[ax²+（b+2a）x+b+c]，
由x=-1為函數f（x）e^x的一個極值點可得，-1是方程ax²+（b+2a）x+b+c=0的一個根，
所以有a-（b+2a）+b+c=0⇒c=a．
法一：所以函數f（x）=ax²+bx+a，對稱軸為x=-$\frac{2a}$，且f（-1）=2a-b，f（0）=a．
對于A，由圖得a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0，不矛盾，
對于B，由圖得a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0，不矛盾，
對于C，由圖得a＜0，f（0）＜0，x=-$\frac{2a}$＞0⇒b＞0⇒f（-1）＜0，不矛盾，
對于D，由圖得a＞0，f（0）＞0，x=-$\frac{2a}$＜-1⇒b＞2a⇒f（-1）＜0與原圖中f（-1）＞0矛盾，D不對．
法二：所以函數f（x）=ax²+bx+a，由此得函數相應方程的兩根之積為1，對照四個選項發現，D不成立．
故選：D．

點評 本題考查極值點與導函數之間的關系．一般在知道一個函數的極值點時，直接把極值點代入導數令其等0即可．可導函數的極值點一定是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點．