Question

（2013•鹽城三模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點分別為A，B，線段OP交⊙O于點C．若PA=12，PC=6，求AB的長．

Answer 1

分析：延長PO交⊙O于D點，連接AO，BO，AB交OP于點E．利用切割線定理即可得出⊙O的半徑R，利用切線長定理得到PA=PB，由半徑OA=OB，于是可得OP垂直平分AB．在Rt△OAP中，由面積即可得出AE，從而得出AB．

解答：解：如圖所示，
延長PO交⊙O于D點，連接AO，BO，AB交OP于點E．
∵PA與⊙O相切，∴PA²=PC•PD．
設⊙O的半徑為R，∵PA=12，PC=6．
∴12²=6（6+2R），解得R=9．
∵PA，PB與⊙O都相切，∴PA=PB．
又∵OA=OB，∴OP垂直平分AB．
即OP⊥AB，AB=2OE．
在Rt△OAP中，

1

2

OA•AP=

1

2

OP•AE．
∴AE=

9×12

6+9

=

36

5

．
∴AB=

72

5

．

點評：熟練掌握圓的性質、切割線定理、切線長定理、線段的垂直平分線的判定與性質、“等積變形”是解題的關鍵．