Question

18.如圖，O為坐標原點，過點P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y²=2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點.

（Ⅰ）寫出直線l的方程；

（Ⅱ）求x₁x₂與y₁y₂的值；

（Ⅲ）求證：OM⊥ON.

Answer 1

18.本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力

（Ⅰ）解：直線l的方程為y=k（x－2）  （k≠0）.                         ①

（Ⅱ）解：由①及y²=2x消去y得k²x²－2（2k²+1）x+4k²=0.             ②

點M，N的橫坐標x₁與x₂是②的兩個根，由韋達定理得

x₁x₂==4.

由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂

得（y₁y₂）²=4x₁x₂＝4×4=16，

注意到y₁y₂＜0，所以y₁y₂=－4.

（Ⅲ）證明：設直線OM，ON的斜率分別為k₁，k₂，

則k₁=，k₂=，

相乘得k₁k₂===－1，

所以OM⊥ON.