Question

設函數f₀（x）=sinx，f₁（x）=f'₀（x），f₂（x）=f'₁（x），…，f_n+1（x）=f'_n（x），n∈N，則f2011(

π

3

)=

 

．

Answer 1

分析：利用三角函數的導數公式求出前幾個導函數；判斷出f（x）是周期函數，先求出f₂₀₁₁（x）的解析式，再求函數值．

解答：解：∵f₀（x）=sinx；f₁（x）=cosx；f₂（x）=-sinx；f₃（x）=-cosx；f₄（x）=sinx
∴f（x）是以4為周期的函數
∴f₂₀₁₁（x）=f_502×4+3（x）=f₃（x）=-cosx
∴f2011(

π

3

)=-cos

π

3

=-

1

2

故答案為-

1

2

點評：本題考查三角函數的求導公式：注意（cosx）′=-sinx、求出前幾個的函數解析式找規律是常用的方法．