Question

在Rt△ABC中，AB=AC=1，若一個橢圓通過A、B兩點，它的一個焦點為C，另一個焦點F在AB上，則這個橢圓的離心率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：設橢圓的另一焦點為C′，依題意可求得a，進一步可求得AC′，在直角三角形ACC′中，可求得CC′，即2c，從而可求得這個橢圓的離心率．
解答：∵在Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴ABC是個等腰直角三角形，
∴BC=；
設另一焦點為C′
由橢圓定義，BC′+BC=2a，AC′+AC=2a，
設BC′=m，則AC′=1-m，
則+m=2a，1+（1-m）=2a
兩式相加得：a=；
∴AC′=2a-AC=1+-1=
直角三角形ACC′中，由勾股定理：（2c）²=1+=
∴c=．
∴e====-．
故選A．
點評：本題考查橢圓的簡單性質，求得c=是關鍵，也是難點，考查橢圓的定義與勾股定理，屬于中檔題．