Question

（2012•安徽模擬）如圖，F₁、F₂為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點，A、B為雙曲線的頂點，以F₁F₂為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于M、N兩點，且滿足∠MAB=30°，則該雙曲線的離心率為

21

3

．

Answer 1

分析：由題意求出圓的方程，雙曲線的漸近線方程，通過∠MAB=30°求出a，b的關系，然后求出雙曲線的離心率．

解答：解：由題意可知，圓的方程為x²+y²=c²，雙曲線的漸近線方程為y=

b

a

x，
將其代入圓的方程得M（a，b），N（-a，-b）．因為∠BAM=30°．
連接MB，在Rt△MAB中，tan∠BAM=

MB

AB

=

b

2a

=

3

3

，

b

a

=

2 3

3

，
所以e=

c

a

=

1+( b a )2

=

21

3

．
故答案為：

21

3

．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，考查圓的方程的應用，考查計算能力．