Question

某工廠現有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計劃利用這兩種原料生產A，B 兩種產品共50件．已知生產一件A產品，需要甲種原料共9kg，乙種原料3kg，可獲利潤700元；生產一件B種產品，需用甲種原料4kg，乙種原料10kg，可獲利潤1200元．
（Ⅰ）按要求安排A，B兩種產品的生產件數，有幾種方案？請你設計出來．
（Ⅱ）設生產A，B兩種產品獲總利潤y（元），其中一種的生產件數為x，試寫出y與x之間的函數關系式，并利用函數性質說明（Ⅰ）中哪種方案獲利最大？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設安排生產A種產品x件，則生產B件產品為（50-x）件，則根據生產一件A產品，需要甲種原料共9kg，乙種原料3kg，生產一件B種產品，需用甲種原料4kg，乙種原料10kg，及有甲種原料360kg，乙種原料290kg，即可列出不等式組，解出不等式組的解，即可得到結論；
（2）根據已知生產一件A產品，可獲利潤700元；生產一件B種產品，可獲利潤1200元，可建立函數關系式，利用函數的單調性及（1）的結論，即可求得結論．
解答：解：（1）設安排生產A種產品x件，則生產B件產品為（50-x）件，依題意，得
解得30≤x≤32
∵x 是整數，∴x 只能取30，31，32．
∴生產方案有3種，分別為A種30件，B種20件；A種31件，B種19件；A種32件，B種18件
（2）設生產A種產品x件，則y=700x+1200（50-x）=-500x+60000．
∵y隨x的增大而減小
∴當x=30時，y值最大，y_最大=-500×30+60000=45000．
∴安排生產A種產品30 件，B種產品20 件時，獲利最大，最大利潤是45000元
點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查函數模型的構建，同時考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．