Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且an+2Sn•Sn-1=0，(n≥2，n∈N)，a1=

1

2

．
（1）求證：{

1

Sn

}為等差數列；
（2）求a_n；
（3）若b_n=2•（1-n）•a_n，求

lim

n→∞

bn+2

bn+1

．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時，由已知有S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0易知S_n≠0，從而可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2即證．
（2）由（1）可得Sn=

1

2n

，利用遞推公式an=Sn-Sn-1=

1

2

(

1

n

-

1

n-1

)及a₁=S₁可求
（3）易知b₁=0，n≥2時bn=

1

n

．代入可求極限

解答：解：（1）當n≥2時，由已知有S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0易知S_n≠0
故

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
∴{

1

Sn

}為首項為2，公差為2的等差數列．
（2）易知Sn=

1

2n

，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2

(

1

n

-

1

n-1

)
∴an=

1 2                    n=1 1 2 ( 1 n - 1 n-1 )  ，n≥2

（3）易知b₁=1-1=0，n≥2時bn=

1

n

．
∴

lim

n→∞

bn+2

bn+1

=

lim

n→∞

n+1

n+2

=1

點評：本題主要考查 了利用數列的遞推公式an=Sn-Sn-1=

1

2

(

1

n

-

1

n-1

)及a₁=S₁求解數列的通項公式，數列極限的求解，屬于中檔試題