Question

已知函數f（x）=

1

2

lnx+ax2（a∈R）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(

1

2

，f(

1

2

))處的切線l_切與直線l：x+2y-2=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；若存在極值點x₀∈（1，2），求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出y=f（x）在點(

1

2

，f(

1

2

))處的導數值，結合切線l_切與直線l：x+2y-2=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，分a≥0和a＜0討論，當a＜0時求出原函數的零點，得到函數的單調期間，求出極值點，由極值點x₀∈（1，2）列不等式求得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

2

lnx+ax2（a∈R），
∴f/(x)=

1

2x

+2ax，（x＞0，a∈R），
∴k=f/(

1

2

)=1+a，
由l_切與直線l：x+2y-2=0垂直，
得(1+a)•(-

1

2

)=-1，解得a=1；
（Ⅱ） f/(x)=

1

2x

+2ax=

4ax2+1

2x

，（x＞0）
當a≥0時，f′（x）＞0在x＞0上恒成立，
∴f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），無遞減區間；
當a＜0時，由f′（x）=0，4ax²+1=0，解得，x=

- 1 4a

．
由f′（x）＞0，4ax²+1＞0，解得，0＜x＜

- 1 4a

；
由f′（x）＜0，4ax²+1＜0，解得，x＞

- 1 4a

．
此時f（x）的單調遞增區間為(0，

- 1 4a

)，f（x）的單調遞減區間為(

- 1 4a

，+∞)．
綜上，當a≥0時，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），無遞減區間；
當a＜0時，f（x）的單調遞增區間為(0，

- 1 4a

)，f（x）的單調遞減區間為(

- 1 4a

，+∞)．
若存在極值點x₀∈（1，2），由函數的單調性知，x0=

- 1 4a

且a＜0；
由1＜

- 1 4a

＜2，解得-

1

4

＜a＜-

1

16

．
∴所求實數a的取值范圍為(-

1

4

，-

1

16

)．

點評：本題考查了利用導數求過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，是中檔題．