Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=3n³+n（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）已知數列{b_n}滿足．T_n=b₁+b₂+…+b_n．
（i）證明：；
（ii）是否存在最大的正數k，使不等式3T_n≥log₂k+log₂a_n+1，對一切n∈N^*都成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n-1，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）由，知+=．要證：，即證：，由此入手能夠使原不等式得證．

（3）假設存在最大正數k，使不等式成立．即3T_n≥log₂k（3n+2），所以，由此能夠證明存在最大正數k．
解答：解：（1）n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n-1，
∵n=1時，a₁=S₁=2滿足上式
∴a_n=3n-1（n∈N⁺）．
（2）由（1）得：，
∴+
=．
要證：
即證：，
即：（³，
令，
∵-
=＞，
∴g（n+1）＞g（n）．即g（n）為增．從而，
∴ 從而原不等式得證．

（3）假設存在最大正數k，使不等式成立．即3T_n≥log₂k（3n+2），
∴，
∴≥，
∴，
由（2）知為增．
∴，
∴，
∴存在最大正數k=．
點評：本題考查數列的通項公式的求法，證明和判斷是否存在最大的正數k，使不等式3T_n≥log₂k+log₂a_n+1，對一切n∈N^*都成立．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．