Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x+1）=

2

f(x)

（f（x）≠0），且在區間（2013，2014）上單調遞增，已知α，β是銳角三角形的兩個內角，則f（sinα）、f（cosβ）的大小關系是（　　）

• A、f（sinα）＜f（cosβ）
• B、f（sinα）＞f（cosβ）
• C、f（sinα）=f（cosβ）
• D、以上情況均有可能

Answer 1

分析：首先根據條件f（x+1）=

2

f(x)

，求出函數的最小正周期2，再由函數f（x）在區間（2013，2014）上單調遞增得到函數f（x）在（-1，0）上的單調性，再由f（-x）=f（x）得到函數f（x）在（0，1）上的單調性，根據α，β是銳角三角形的兩個內角，得到α+β＞

π

2

即α＞

π

2

-β，根據正弦函數的單調性和誘導公式得到sinα＞cosβ，再由f（x）在（0，1）的單調性，即可判斷f（sinα）、f（cosβ）的大小關系．

解答：解：∵定義在R上的函數f（x）滿足f（x+1）=

2

f(x)

（f（x）≠0），
∴f（x+1）•f（x）=2，f（x+2）•f（x+1）=2，即f（x+2）=f（x），
∴函數f（x）是最小正周期為2的函數，
∵函數f（x）在區間（2013，2014）上單調遞增，
∴函數f（x）在區間（-1，0）上也是單調遞增，
∵定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=f（x），
∴函數f（x）在區間（0，1）上是單調遞減，
∵α，β是銳角三角形的兩個內角，
∴α+β＞

π

2

，即α＞

π

2

-β，
由正弦函數的單調性得sinα＞sin(

π

2

-β)，
再由三角函數的誘導公式得sinα＞cosβ，
∵sinα，cosβ∈（0，1），
∴由f（x）在（0，1）上遞減得f（sinα）＜f（cosβ），
故選：A．

點評：本題主要考查函數的周期性、單調性及應用，以及三角函數的單調性和誘導公式的運用，靈活運用定義和公式，是解決問題的關鍵．