【題目】已知函數
，對任意
，都有
.
討論
的單調性；
當存在三個不同的零點時，求實數
的取值范圍.
【答案】(1) 當
時，
在
上單調遞減；當
時，在
和
上單調遞減，在
上單調遞增.；(2)
【解析】
（1）根據
可得
，得到
，求導后，分別在
和
兩種情況下討論導函數符號，得到單調性；（2）根據（1）中所求單調性，否定的情況；在時，首先求得
為一個零點；再利用零點存在性定理求解出
中存在一個零點
；根據
，可確定另一個零點
，從而可知滿足題意.
（1）由
，得
則，
若
時，即時，在單調遞減
若
，即時，
有兩個零點
零點為：
，
又開口向下
當
時，
，
，單調遞減
當
時，
，
，單調遞增
當
時，，，單調遞減
綜上所述，當時，在上單調遞減；當時，在和上單調遞減，在上單調遞增
（2）由（1）知當時，單調遞減，不可能有三個不同的零點；
當時，在
和
上單調遞減，在
上單調遞增
，又
，有
在上單調遞增，
，
令
，
令
，
單調遞增
由
，求得
當時，
單調遞減，
在
上單調遞增
故
故
，
，
由零點存在性定理知在區間有一個根，設為：
又，得
，
，是的另一個零點
故當時，存在三個不同的零點，
，
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名師點睛字詞句段篇系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“
”中的“2”要求考生從政治、化學、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦分規則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為
五個等級，確定各等級人數所占比例分別為
，
，，
，
，等級考試科目成績計入考生總成績時，將
至
等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法分別轉換到
、
、
、
、
五個分數區間，得到考生的等級分，等級轉換分滿分為100分.具體轉換分數區間如下表：
等級 |
|
|
|
|
|
比例 |
|
|
|
|
|
賦分區間 |
|
|
|
|
|
而等比例轉換法是通過公式計算：
其中
，
分別表示原始分區間的最低分和最高分，
、
分別表示等級分區間的最低分和最高分，
表示原始分，
表示轉換分，當原始分為，時，等級分分別為、
假設小南的化學考試成績信息如下表：
考生科目 | 考試成績 | 成績等級 | 原始分區間 | 等級分區間 |
化學 | 75分 |
|
|
|
設小南轉換后的等級成績為，根據公式得：
，
所以
（四舍五入取整），小南最終化學成績為77分.
已知某年級學生有100人選了化學，以半期考試成績為原始成績轉換本年級的化學等級成績，其中化學成績獲得等級的學生原始成績統計如下表：
成績 | 95 | 93 | 91 | 90 | 88 | 87 | 85 |
人數 | 1 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 |
（1）從化學成績獲得等級的學生中任取2名，求恰好有1名同學的等級成績不小于96分的概率；
（2）從化學成績獲得等級的學生中任取5名，設5名學生中等級成績不小于96分人數為
，求的分布列和期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，橢圓
的離心率為
,直線
被橢圓
截得的線段長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過原點的直線與橢圓交于
兩點（不是橢圓的頂點），點
在橢圓上，且
，直線
與
軸
軸分別交于
兩點.
①設直線
斜率分別為
，證明存在常數
使得
，并求出的值；
②求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的左右焦點分別為的
、
，離心率為
；過拋物線
焦點
的直線交拋物線于
、
兩點，當
時， 
點在
軸上的射影為
。連結
并延長分別交
于
、
兩點，連接
； 
與
的面積分別記為
， 
，設
.
（Ⅰ）求橢圓
和拋物線
的方程；
（Ⅱ）求
的取值范圍.
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