Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求直線與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（1，0）（2）

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)所求切點(diǎn)的坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率為，再由切點(diǎn)滿足函數(shù)和，從而得到關(guān)于的方程組,解方程即可;

當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于對(duì)恒成立.

構(gòu)造函數(shù)，則，，

分兩種情況和利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性及最值即可.

因?yàn)楹瘮?shù)，所以，

設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，整理化簡得.

令，則，

∴在上單調(diào)遞減，

∴由零點(diǎn)存在性定理可得,在最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

又∵，∴，此時(shí)，

即切點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）.

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于對(duì)恒成立.

令，則，.

①當(dāng)，時(shí)，，

∴，在上單調(diào)遞增，因此符合題意.

②當(dāng)時(shí)，令得.

由與得，.

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

綜上所述得，的取值范圍是.