Question

設A，B分別是直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的兩個動點，并且|

AB

|=

20

，動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

．記動點P的軌跡為C．
（I） 求軌跡C的方程；
（Ⅱ）若點D的坐標為（0，16），M、N是曲線C上的兩個動點，且

DM

=λ

DN

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

（ I） 設P（x，y），
為A、B分別為直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的點，
故可設A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2，-

2 5

5

x2)．
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2)

，
∴

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y

，…（4分）
又|

AB

|=

20

，
∴(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20．…（5分）
∴

5

4

y2+

4

5

x2=20．　
即曲線C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．…（6分）
（ II） 設N（s，t），M（x，y），
則由

DM

=λ

DN

，
可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．
故x=λs，y=16+λ （t-16）．…（8分）
∵M、N在曲線C上，
∴

s2 25 + t2 16 =1 λ2s2 25 + (λt-16λ+16)2 16 =1.

…（10分）
消去s得  

λ2(16-t2)

16

+

(λt-16λ+16)2

16

=1．
由題意知λ≠0，且λ≠1，
解得t=

17λ-15

2λ

．…（12分）
又|t|≤4，
∴|

17λ-15

2λ

|≤4．
解得  

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）．
故實數λ的取值范圍是

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）．…（14分）