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設A、B分別是直線y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的兩個動點，并且|
AB
|=
20
，動點P滿足
OP
=
OA
+
OB
，記動點P的軌跡為C，求軌跡C的方程．
分析：設出動點P和A，B兩點的坐標，根據A，B兩點在直線y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上，且|
AB
|=
20
，列出關于A，B的橫坐標的關系式，再由
OP
=
OA
+
OB
，把P點的坐標都用A，B的橫坐標表示，整體代換后即可得到P點的軌跡C的方程．
解答：解：設P（x，y），因為A，B分別是直線y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的點，
故可設A(x1，
2
5
5
x1)，B(x2-
2
5
5
x2)，
又|
AB
|=
20
，所以(x1-x2)2+
4
5
(x1+x2)2=20①，
因為
OP
=
OA
+
OB
，所以有
x=x1+x2
y=
2
5
5
(x1-x2)
，即
x1+x2=x
x1-x2=
5
2
y
．
代入①得：
5
4
y2+
4
5
x2=20，即曲線C的方程為
x2
25
+
y2
16
=1．
點評：本題考查了曲線與方程，考查了整體運算思想，訓練了代入法，解答該題的關鍵是由已知列出A，B兩點橫坐標的關系，然后轉化為P點的橫縱坐標的關系，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•東城區一模）設A，B分別是直線y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的兩個動點，并且|
AB
|=
20
，動點P滿足
OP
=
OA
+
OB
．記動點P的軌跡為C．
（I） 求軌跡C的方程；
（Ⅱ）若點D的坐標為（0，16），M、N是曲線C上的兩個動點，且
DM
=λ
DN
，求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（文科）設A、B分別是直線y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的兩個動點，并且|
AB
|=
20
，滿足
OP
=
OA
+
OB
．（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若點D的坐標為（0，16），M、N是曲線C上的兩個動點，且
DM
=λ
DN
（λ≠1），求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•東城區一模）設A，B分別是直線y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的兩個動點，并且|
AB
|=
20
，動點P滿足
OP
=
OA
+
OB
．記動點P的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）M，N是曲線C上的任意兩點，且直線MN不與y軸垂直，線段MN的中垂線l交y軸于點E（0，y0），求y0的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設A，B分別是直線y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的兩個動點，并且|
AB
|=
20
，動點P滿足
OP
=
OA
+
OB
，記動點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若點D的坐標為（0，16），M，N是曲線C上的兩個動點，并且
DM
=λ
DN
，求實數λ的取值范圍；
（3）M，N是曲線C上的任意兩點，并且直線MN不與y軸垂直，線段MN的中垂線l交y軸于點E（0，y0），求y0的取值范圍．

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