Question

3．已知ABC-A₁B₁C₁是各條棱長均等于2的正三棱柱，D是側棱CC₁的中點，點C₁到平面AB₁D的距離（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 以C為原點，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點C₁到平面AB₁D的距離．

解答 解：以C為原點，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則C₁（0，0，2），D（0，0，1），A（$\sqrt{3}$，1，0），B₁（0，2，2），
$\overrightarrow{DA}$=（$\sqrt{3}，1，-1$），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（0，2，1），
設平面AB₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{3}x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，-2），
∴點C₁到平面AB₁D的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．