Question

如圖，橢圓的長軸長為，點、、為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，過中心，且，．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個動點（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系，并求證直線的斜率為定值.

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用題中條件先得出的值，然后利用條件，結(jié)合橢圓的對稱性得到點的坐標(biāo)，然后將點的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）將條件

得到直線與的斜率直線的關(guān)系（互為相反數(shù)），然后設(shè)直線的方程為，將此直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，注意到直線與的斜率之間的關(guān)系得到點的坐標(biāo)，最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.

（1），，

又是等腰三角形，所以，

把點代入橢圓方程，求得，

所以橢圓方程為；

（2）由題易得直線、斜率均存在，

又，所以，

設(shè)直線代入橢圓方程，

化簡得，

其一解為，另一解為，

可求，

用代入得，，

為定值.

考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.兩點間連線的斜率