Question

【題目】在棱長為1的正方體中，已知點P為側面上的一動點，則下列結論正確的是（ ）

A.若點P總保持，則動點P的軌跡是一條線段；

B.若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是一段圓弧；

C.若P到直線與直線的距離相等，則動點P的軌跡是一段拋物線；

D.若P到直線與直線的距離比為，則動點P的軌跡是一段雙曲線.

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

由平面且平面平面，即可判斷A；根據球的性質及與正方體的截面性質即可判斷B；作，，連接，作.建立空間直角坐標系，由即可求得動點P的軌跡方程，即可判斷C；根據題意，由距離比即可求得軌跡方程，進而判斷D.

對于A，，且，所以平面，平面平面，故動點P的軌跡為線段，所以A正確；

對于B，點P的軌跡為以A為球心、半徑為的球面與面的交線，即為一段圓弧，所以B正確；

對于C，作，，連接；作.由，在面內，以C為原點、以直線、、為x，y，z軸建立平面直角坐標系，如下圖所示：

設，則，化簡得，P點軌跡所在曲線是一段雙曲線，所以C錯誤.

對于D，由題意可知點P到點的距離與點P到直線的距離之比為，結合C中所建立空間直角坐標系，可得，所以，代入可得，化簡可得，故點P的軌跡為雙曲線，所以D正確.

綜上可知，正確的為ABD.

故選：ABD.