【題目】已知直線l：
與曲線C：
（
，
）交于不同的兩點A，B，O為坐標原點.
（1）若
，
，求證：曲線C是一個圓；
（2）若曲線C過
、
，是否存在一定點Q，使得
為定值？若存在，求出定點Q和定值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，定點
， 
【解析】
（1）設直線l與曲線C的交點為
，
，由兩點間距離公式及
可得
，將A，B代入曲線方程，作差化簡變形即可證明
，因而可知曲線C是一個圓；
（2）由曲線C過
、
，可得曲線C為橢圓，且求得標準方程，假設存在點
，設交點為，，聯立直線與橢圓，并由韋達定理表示出
，
,由平面向量數量積的坐標運算，代入化簡即可確定所過定點坐標，亦可求得
的值.
（1）證明：設直線l與曲線C的交點為，
，
即，
∴
∵A，B在曲線C上，
∴
，
，
∴兩式相減得
∴
即,所以
，
∴曲線C是一個圓.
（2）由題意知，橢圓C的方程為
,
假設存在點 ，設交點為，，
由
得，
,
，
,
直線l：
恒過橢圓內定點
，故
恒成立.
當
時，即
，
時
,
故存在定點，不論k為何值，為定值.
優生樂園系列答案
新編小學單元自測題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的焦點為
和
，過
的直線
交于
兩點，過
作與
軸垂直的直線
，又知點
，直線
記為
，與交于點
．設
，已知當
時，
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：無論
如何變化，點的橫坐標是定值，并求出這個定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將字母
放入
的方表格，每個格子各放一個字母，則每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率為_______；若共有
行字母相同，則得k分，則所得分數
的數學期望為______；（注：橫的為行，豎的為列；比如以下填法第二行的兩個字母相同，第1，3行字母不同，該情況下
）
a | b |
c | c |
a | b |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在棱長為1的正方體
中，已知點P為側面
上的一動點，則下列結論正確的是（ ）
A.若點P總保持
，則動點P的軌跡是一條線段；
B.若點P到點A的距離為
，則動點P的軌跡是一段圓弧；
C.若P到直線
與直線
的距離相等，則動點P的軌跡是一段拋物線；
D.若P到直線
與直線
的距離比為
，則動點P的軌跡是一段雙曲線.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學就業部從該大學2018年畢業且已就業的大學本科生中隨機抽取了100人進行了問卷調查，其中有一項是他們的薪酬，經調查統計，他們的月薪在3000元到10000元之間，根據統計數據得到如下頻率分布直方圖：
若月薪在區間
的左側，則認為該大學本科生屬“就業不理想”的學生，學校將與本人聯系，為其提供更好的指導意見.其中
，
分別是樣本平均數和樣本標準差，計算得
（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）
（1）現該校2018屆本科畢業生張靜的月薪為3600元，判斷張靜是否屬于“就業不理想”的學生？用樣本估計總體，從該校2018屆本科畢業生隨機選取一人，屬于“就業不理想”的概率？
（2）為感謝同學們對調查的支持配合，該校利用分層抽樣的方法從樣本的前3組中抽出6人，每人贈送一份禮品，并從這6人中再抽取2人，每人贈送新款某手機1部，求獲贈手機的2人中恰有1人月薪不超過5000元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列判斷正確的是（ ）
A. “
”是“
”的充分不必要條件
B. 命題“若
，則
”的否命題為“若，則
”
C. 命題“
，
”的否定是“
，
”
D. 若命題“
”為假命題，則命題
，
都是假命題
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與BCD均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，點P是線段AB上的動點，若線段CD上存在點Q，使得異面直線PQ與AC成30°的角，則線段PA長的取值范圍是（ ）
A.（0，
）B.[0，
]C.（，
）D.（，）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，圓
，動圓
與圓
外切并與圓
內切，圓心的軌跡為曲線
.
（1）求的方程；
（2）若直線
與曲線交于
兩點，問是否在
軸上存在一點
，使得當
變動時總有
？若存在，請說明理由.
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