Question

（x²+

a

2x

）⁶展開式的中間項系數為20，如圖陰影部分是由曲線y=x²和圓x²+y²=a及x軸圍成的封閉圖形，則封閉圖形的面積S=

 

．

Answer 1

考點：定積分

專題：導數的綜合應用,二項式定理

分析：利用二項式定理得到中間項系數，解得a，然后利用定積分求陰影部分的面積．

解答： 解：因為（x²+

a

2x

）⁶展開式的中間項系數為20，中間項為第四項，系數為

C

3 6

(

a

2

)3=20，解得a=2，
所以曲線y=x²和圓x²+y²=2的在第一象限的交點為（1，1）
所以陰影部分的面積為

π

4

-

∫

1 0

(x-x2)dx=

π

4

-（

1

2

x2-

1

3

x3）

|

1 0

=

π

4

-

1

6

；
故答案為：

π

4

-

1

6

．

點評：本題考查了二項式定理以及定積分求陰影部分的面積，屬于常規題．