Question

已知奇函數f（x）的定義域是R，且f（x）=f（1-x），當0≤x≤

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時，f（x）=x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數；
（2）求函數f（x）在區間[1，2]上的解析式；
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于函數為定義在R上的奇函數，根據奇函數的性質可得：f（-x）=-f（x），結合f（x）=f（1-x），我們易得函數f（x）是周期函數；
（2）由當0≤x≤

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時，f（x）=x-x²．根據函數f（x）為奇函數，及f（x）=f（1-x），及（1）中的結論，即可求出求f（x）在區間[1，2]上的解析式；
（3）由函數是以2為周期的函數，故只需要求出一個周期內的值域即可，由（2）知，利用二次函數和分段函數求值域的方法即可求得結果．

解答：解：（1）f（x+2）=f（1-（x+2））=f（-x-1）=-f（x+1）=-f（1-（x+1））=-f（-x）=f（x），
所以f（x）是周期為2的函數．
（2）∵當x∈[

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，1]時，f（x）=f（1-x）=（1-x）-（1-x）²=x-x²，
∴x∈[0，1]時，f（x）=x-x²
∴當x∈[1，2]時，f（x）=f（x-2）=-f（2-x）=（2-x）²-（2-x）=x²-3x+2．
∴當x∈[1，2]時，f（x）=x²-3x+2．
（3）由函數是以2為周期的函數，故只需要求出一個周期內的值域即可，由（2）知

f(x)= x-x2   (0≤x≤1) x+x2   (-1≤x≤0)

，
故在[-1，1]上函數的值域是[-

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4

，

1

4

]，
故值域為[-

1

4

，

1

4

]．

點評：本題解析的關鍵點是根據函數的奇偶性，求函數在對稱區間上的解析式，若已知函數的奇偶性，及函數在區間[a，b]上的解析式，求對稱區間[-b，-a]上的解析式，一般步驟為：取區間上任意一個數，即x∈[-b，-a]，則-x∈[a，b]，由區間[a，b]上的解析式，寫出f（-x）的表達式，根據奇函數f（-x）=-f（x）（偶函數f（-x）=f（x））給出區間[-b，-a]上函數的解析式，屬中檔題．