Question

已知奇函數f（x）的定義域是R，且f（x）=f（1-x），當0≤x≤

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時，f（x）=x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數；
（2）求f（x）在區間[1，2]上的解析式；
（3）求方程f（x）=log₁₀₀₀₀x的根的個數．

Answer 1

分析：（1）由于函數為定義在R上的奇函數，根據奇函數的性質可得：f（-x）=-f（x），結合f（x）=f（1-x），我們易得函數
f（x）是周期函數；
（2）由當0≤x≤

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2

時，f（x）=x-x²．根據函數f（x）為奇函數，及f（x）=f（1-x），及（1）中的結論，即可求出求
f（x）在區間[1，2]上的解析式；
（3）根據（1）的結論，根據函數零點的判斷方法，結合函數圖象即可得到方程f（x）=log₁₀₀₀₀x的根的個數．

解答：解：（1）∵函數為定義在R上的奇函數，
∴f（x）=-f（-x），
又∵f（x）=f（1-x），
∴-f（-x）=f（1-x），
即f（x）=-f（x-1），
則f（x-2）=-f[（x-1）-1]=f（x）
故f（x）為周期函數，且T=2
（2）當

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≤x≤1時，0≤1-x≤

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則f（1-x）=（1-x）-（1-x）²=-x²+x=f（x）
即0≤x≤1時，f（x）=-x²+x
當-1≤x≤0時，0≤-x≤1
則f（-x）=-（-x）²+（-x）=-f（x）
即f（x）=x²+x
當1≤x≤2時，-1≤x-2≤0
f（x-2）=（x-2）²+（x-2）=x²-3x+2=f（x）
即f（x）=x²-3x+2，（1≤x≤2）
（3）由（2）的結論，我們畫出函數y=f（x）與y=log₁₀₀₀₀x的圖象如下圖所示：

由圖可知，兩個函數的圖象共有9個交點，故方程f（x）=log₁₀₀₀₀x共有9個根

點評：本題解析的關鍵點是根據函數的奇偶性，求函數在對稱區間上的解析式，若已知函數的奇偶性，及函數在區間[a，b]上的解析式，求對稱區間[-b，-a]上的解析式，一般步驟為：取區間上任意一個數，即x∈[-b，-a]，則-x∈[a，b]，由區間[a，b]上的解析式，寫出f（-x）的表達式，根據奇函數f（-x）=-f（x）（偶函數f（-x）=f（x））給出區間[-b，-a]上函數的解析式．