Question

已知奇函數f（x）的定義域為[-1，1]，當x∈[-1，0）時，f（x）=-(

1

2

)x．
（1）求函數f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若x∈（0，1]，

1

4

f²（x）-

λ

2

f（x）+1的最小值為-2，求實數λ的值．

Answer 1

分析：（1）利用函數的奇偶性、指數函數的單調性求出函數f（x）在[0，1]上的值域．
（2）根據f（x）的范圍，利用條件以及二次函數的性質，分類討論求得實數λ的值．

解答：解：（1）設x∈（0，1]，則-x∈[-1，0）時，所以f（-x）=-(

1

2

)-x=-2^x．
又因為f（x）為奇函數，所以有f（-x）=-f（x），
所以當x∈（0，1]時，f（x）=-f（-x）=2^x，所以f（x）∈（1，2]，
又f（0）=0．
所以，當x∈[0，1]時函數f（x）的值域為（1，2]∪{0}．
（2）由（1）知當x∈（0，1]時，f（x）∈（1，2]，
所以

1

2

f（x）∈（

1

2

，1]．
令t=

1

2

f（x），則

1

2

＜t≤1，
g（t）=

1

4

f²（x）-

λ

2

f（x）+1=t²-λt+1=(t-

λ

2

)2+1-

λ2

4

，
①當

λ

2

≤

1

2

，即λ≤1時，g（t）＞g（

1

2

），無最小值，
②當

1

2

＜

λ

2

≤1，即1＜λ≤2時，g（t）_min=g（

λ

2

）=1-

λ2

4

=-2，
解得λ=±2

3

 （舍去）．
③當

λ

2

＞1，即λ＞2時，g（t）_min=g（1）=-2，解得λ=4，
綜上所述，λ=4．

點評：本題主要考查指數函數的單調性，求二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論、轉化的數學思想，屬于中檔題．