Question

已知函數.
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）若時，函數在閉區間上的最大值為，求的取值范圍.

Answer 1

（1）單調增區間分別為，，單調減區間為；（2）.

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、極值、最值以及不等式的基礎知識，考查分類討論思想，考查綜合運用數學知識和方法分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，當時，函數解析式中沒有參數，直接求導，令導數大于0和小于0，分別解出函數的單調增區間和單調減區間；第二問，因為的兩個根是和1，所以需要討論和1的大小，分3種情況進行討論，分別列表判斷函數的單調性、極值、最值，求出函數在閉區間上的最大值判斷是否等于，求出的取值范圍.
試題解析：     2分
（1）當時，
當或時，,
當，，
所以的單調增區間分別為，，      5分
的單調減區間為.
（2）（Ⅰ）當時，，在 上單調遞增，最大值為
（Ⅱ）當時，列表如下：

x	0	(0,a)	a	(a,1)	1	(1,1+a)	a+1
f/(x)		+	0	-	0	+
f(x)		增	極大值f(a)	減		增

由表知在上的最大值，只有可能是或
所以只需
解得，此時.
（Ⅲ）當時，列表如下：

x	0	(0,1)	1	(1 ,a)	a	(a,1+a)	a+1
f/(x)		+	0	-	0	+
f(x)		增	極大值f(1)	減		增

由表知在上的最大值，只有可能是或
所以只需
解得，此時.      11分
由（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）得，
所以滿足條件的的取值范圍是.       12分