【題目】拋物線
的焦點為
，過點的直線交拋物線于
，
兩點．
（1）
為坐標原點，求證：
；
（2）設點
在線段
上運動，原點關于點的對稱點為
，求四邊形
面積的最小值
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
時，四邊形
的面積最小，最小值是
．
【解析】
試題（1）先利用已知條件設出直線AB的方程，與拋物線聯立方程組，然后結合韋達定理表示出向量的數量積，進而證明。
（2）根據由點
與原點
關于點
對稱，得是線段
的中點，從而點與點到直線
的距離相等，得到四邊形的面積等于
，結合三角形面積公式得到。
（Ⅰ）解：依題意
，設直線方程為
． …………1分
將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去
得
．……3分
設
，
，所以
，
．
=1，
故
．………………6分
（Ⅱ）解：由點與原點關于點對稱，得是線段的中點，從而點與點到直線的距離相等，所以四邊形的面積等于．……8分
因為
……………9分
，…………11分
所以時，四邊形的面積最小，最小值是． ……12分
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【題目】某校在2013年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規定成績在85分以上的學生為“優秀”，成績小于85分的學生為“良好”，且只有成績為“優秀”的學生才能獲得面試資格．
（1）求出第4組的頻率，并補全頻率分布直方圖；
（2）根據樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數與平均數；
（3）如果用分層抽樣的方法從“優秀”和“良好”的學生中共選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優秀”的概率是多少？
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【題目】6名教師分配到3所薄弱學校去支教，每個學校至少分配一名教師，甲乙兩人不能去同一所學校，丙丁兩人必須去同一所學校，共有________種分配方案(用數字作答)．
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【題目】已知函數
的圖象關于直線
對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為
.
（1）求
和
的值；
（2）當
時，求函數
的最大值和最小值；
（3）設
，若
的任意一條對稱軸與x軸的交點的橫坐標不屬于區間
，求c的取值范圍.
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【題目】科學研究表明：人類對聲音有不的感覺，這與聲音的強度
單位：瓦
平方米
有關
在實際測量時，常用
單位：分貝來表示聲音強弱的等級，它與聲音的強度I滿足關系式：
是常數，其中
瓦平方米如風吹落葉沙沙聲的強度
瓦平方米，它的強弱等級
分貝．
已知生活中幾種聲音的強度如表：
聲音來源
聲音大小 | 風吹落葉沙沙聲 | 輕聲耳語 | 很嘈雜的馬路 |
強度 |
|
|
|
強弱等級 | 10 | m | 90 |
求a和m的值
為了不影響正常的休息和睡眠，聲音的強弱等級一般不能超過50分貝，求此時聲音強度I的最大值．
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【題目】已知函數
（1）求證：
（2）若函數
的圖象與直線
沒有交點，求實數
的取值范圍；
（3）若函數
，則是否存在實數
，使得
的最小值為
？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
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【題目】類比平面幾何中的定理：△ABC中，若DE是△ABC的中位線，則有S△ADE∶S△ABC＝1∶4；若三棱錐A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，則截得三棱錐的體積與原三棱錐體積之間的關系式為________．
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【題目】一臺機器使用的時間較長，但還可以使用，它按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產有缺點零件的多少，隨機器的運轉的速度而變化，下表為抽樣試驗的結果：
轉速x(轉/秒) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
每小時生產有缺點的零件數y(件) | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
（1）畫散點圖；
（2）如果y對x有線性相關關系，求回歸直線方程；
（3）若實際生產中，允許每小時的產品中有缺點的零件最多為89個，那么機器的運轉速度應控制在什么范圍內？(參考數值：
)
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