Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求證：

（2）若函數(shù)的圖象與直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)，則是否存在實(shí)數(shù)，使得的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則整理即可；

（2）函數(shù)的圖象與直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程無(wú)解，進(jìn)而轉(zhuǎn)為函數(shù)的圖象與直線(xiàn)y=a無(wú)交點(diǎn)，即可求出結(jié)果；

（3）先將化簡(jiǎn)整理，再由換元法處理即可.

（1）證明：；

（2）若函數(shù)的圖象與直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，

則方程無(wú)解，即方程無(wú)解．

令，

則在上是單調(diào)減函數(shù)，又，所以，

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線(xiàn)y=a無(wú)交點(diǎn)

；

（3）由題意函數(shù) ，

令，則，，

函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，

故當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，解得：，

當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，解得：（舍去），

當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，解得：（舍去），

綜上所述，存在滿(mǎn)足條件．