Question

已知函數f（x）=（k-1）a^x-a^-x （a＞0，a≠1）為奇函數，且為增函數，則函數y=a^x+k的圖象為（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：根據函數f（x）為定義在R上的奇函數，由f（0）=0解出k=2，可得函數y=a^x+k即y=a^x+2．再用導數討論函數f（x）為增函數得到a＞1，所以函數y=a^x+2圖象位于直線y=2的上方且呈增函數的趨勢，由此可得本題答案．

解答：解：∵函數f（x）=（k-1）a^x-a^-x （a＞0，a≠1）為奇函數，
∴f（0）=（k-1）×a⁰-a⁰=0，解之得k=2
因此．函數f（x）表達式為：f（x）=a^x-a^-x
又∵函數f（x）=a^x-a^-x是R上的增函數，
∴f'（x）=（lna）a^x-（ln

1

a

）a^-x=（lna）（a^x+a^-x）＞0在R上恒成立
∵a^x+a^-x恒為正數，∴lna＞0，可得a＞1
由此可得函數y=a^x+k，即y=a^x+2，
圖象過定點（0，3）呈增函數的趨勢，且y＞2恒成立
由此對照各選項，可得只有A項符合題意
故選：A

點評：本題在已知一個基本初等函數的奇偶性和單調性的情況下，探索與之相關的另一個函數的圖象，著重考查了函數的單調性、奇偶性和函數圖象的作法等知識，屬于基礎題．