Question

四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD.

         （1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；

         （2）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析

解析:

（1）正方形ABCD是四棱錐P—ABCD的底面, 其面積為從而只要算出四棱錐的高就行了.

面ABCD,

         ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，

    ∴PA⊥DA，

    ∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，

      ∠PAB=60°.                

      而PB是四棱錐P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,

     .   

（2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.

      作AE⊥DP，垂足為E，連結(jié)EC，則△ADE≌△CDE，

           是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.

          設(shè)AC與DB相交于點O，連結(jié)EO，則EO⊥AC，

              

      在

     故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.