Question

已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn) 任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點(diǎn)。

   （1）求曲線的方程；

   （2）試證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分。

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 

(2)  略

【解析】解：（1）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為．        

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　　 　

代入曲線的方程，可得　

，　                              

∵，∴，

　 ∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，

則，                       

要使被軸平分，只要，

即，，              

也就是，，

即，即只要　　 

當(dāng)時(shí)，（＊）對(duì)任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分．