Question

（本小題共14分）

已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點 任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。

   （1）求曲線的方程；

   （2）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分

Answer 1

（1）設為曲線上的任意一點，則點在圓上，

∴，曲線的方程為．   ………………2分       

（2）設點的坐標為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　

，　                      ………………5分            

∵，∴，

　 ∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據點M在橢圓的內部得到此結論）

                                                       ………………6分

設點,的坐標分別, ，

則，                                              

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．

                                                  ………………13分

所以在x軸上存在定點，使得總能被軸平分．

                                                  ………………14分