Question

（本小題滿分16分）
數(shù)列的前n項(xiàng)和為，存在常數(shù)A，B，C，使得對任意正整數(shù)n都成立。
（１） 若數(shù)列為等差數(shù)列，求證：3A－B＋C＝０；
（２） 若設(shè)數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和為，求；
（３） 若C=0，是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，設(shè)，求不超過P的最大整數(shù)的值。

Answer 1

⑴見解析；⑵．⑶不超過的最大整數(shù)為．

本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列的求和，和運(yùn)用數(shù)列來證明不等式的綜合運(yùn)用。
（1）利用已知條件中通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系式，得到前幾項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列的定義得到關(guān)系的證明。
（2）利用第一問的結(jié)論，表示數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析特點(diǎn)，運(yùn)用錯(cuò)位相減法等求解前n項(xiàng)和。
（3）根據(jù)等差數(shù)列得到需要求解的和式，得到結(jié)論。
解：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222645996466.png" style="vertical-align:middle;" />為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由，
得，
即對任意正整數(shù)都成立．
所以所以．      ………………………………4分
⑵ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222646449921.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，即，
所以，而，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以． ……………7分
于是．所以①，，②
由①②，
得．
所以．…………………………………………………………………10分
⑶ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222645996466.png" style="vertical-align:middle;" />是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，由⑴知，公差，所以．
而
，……………………………14分
所以，
所以，不超過的最大整數(shù)為．………………………………………………16分