Question

（2008•寧波模擬）在數列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，且數列{a_n+1+a_n}是公比為2的等比數列，數列{a_n+1-a_n}是公比為-1的等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：當k為正奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

＜

3

2k+1

（3）求證：當n∈N+時，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

＜1．

Answer 1

分析：（1）a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）（-1）^n-1=3（-1）ⁿ，a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•2^n-1=3•2ⁿ，由兩式相減能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）當k為正奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

=

1

2k+1

+

1

2k+1-1

，通分之后能夠得到

3•2k

22k+1+2k-1

＜

3

2k+1

．
（3）把

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

等價轉化為(

1

a1

+

1

a2

)+(

1

a3

+

1

a4

)+…+(

1

a2n-1

+

1

a2n

)，由（2）知

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

＜

3

2 2

+

3

2 4

+…+

3

2 2n

，由此利用等比數列的求和公式能夠證明：當n∈N+時，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

＜1．

解答：（1）解：在數列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，
∵數列{a_n+1+a_n}是公比為2的等比數列，
∴a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•2^n-1=3•2ⁿ，①
∵數列{a_n+1-2a_n}是公比為-1的等比數列，
∴a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）（-1）^n-1=3（-1）ⁿ，②
①-②得3a_n=3•2ⁿ+3•（-1）^n-1，
∴a_n=2ⁿ+（-1）^n-1…（5分）
（2）證明：當k為正奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

=

1

2k+1

+

1

2k+1-1

=

3•2k

22k+1+2k-1

＜

3

2k+1

，
∴當k為正奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

＜

3

2k+1

…（8分）
（3）證明：當n∈N^*時，
∵

1

ak

+

1

ak+1

＜

3

2k+1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

=(

1

a1

+

1

a2

)+(

1

a3

+

1

a4

)+…+(

1

a2n-1

+

1

a2n

)
＜

3

2 2

+

3

2 4

+…+

3

2 2n

=3×

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=1-

1

4n

＜1．

點評：本題考查數列的通項公式的求法和數列與不等式的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．