Question

用數學歸納法證明：（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²，n∈N^*．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：證明題,不等式的解法及應用

分析：驗證n=1、2時，不等式成立，假設（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（b₁²+b₂²+…+b_n-1²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1）²成立，證明（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²，n∈N^*．成立．

解答： 證明：①當n=1時，a₁²b₁²≥（a₁b₁）²顯然成立；
②當n=2時，（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）=a₁²b₁²+a₂²b₂²+a₂²b₁²+a₁²b₂²≥a₁²b₁²+a₂²b₂²+2a₂b₁a₁b₂=（a₁b₁+a₂b₂）²；
③假設（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（b₁²+b₂²+…+b_n-1²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1）²成立，n∈N^*．
則（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）
=[（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）+a_n²][（b₁²+b₂²+…+b_n-1²）+b_n²]
=（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（b₁²+b₂²+…+b_n-1²）+（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）b_n²+（b₁²+b₂²+…+b_n-1²）a_n²+a_n²b_n²
∵（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）b_n²+（b₁²+b₂²+…+b_n-1²）a_n²
=a₁²b_n²+a₂²b_n²+…+a_n-1²b_n²+b₁²a_n²+b₂²a_n²+…+b_n-1²a_n²
=（a₁²b_n²+b₁²a_n²）+（a₂²b_n²+b₂²a_n²）+…+（a_n-1²b_n²+b_n-1²a_n²）
≥2a₁b_nb₁a_n+2a₂b_nb₂a_n+…+2a_n-1b_nb_n-1a_n
=2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1）a_nb_n
則原式≥（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（b₁²+b₂²+…+b_n-1²）+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1）a_nb_n+a_n²b_n²
≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1）²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1）a_nb_n+a_n²b_n²
=（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²．
即：（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²
所以，（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²，n∈N^*．

點評：數學歸納法首先要驗證開始時成立，再通過假設前一個成立，推更多項成立的方法，化簡非常重要．屬于難題．