Question

1+i是實(shí)系數(shù)方程x²-ax-b=0的一個(gè)虛數(shù)根，則直線ax+by=1與圓C：x²+y²=1交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2
B．1
C．0
D．以上都可能

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，由方程的一個(gè)虛根1+i，得到另一根，進(jìn)而求出a與b的值，確定出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離d，判斷d與圓半徑r的大小關(guān)系，可得出直線與圓的位置關(guān)系，即可得到直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
解答：解：由韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系）可得：
x₁+x₂=a，x₁•x₂=-b
∵b，c∈R，
x₁=1+i，∴x₂=1-i，
∴a=2，b=2，
∴直線方程為2x+2y=1，
由圓心（0，0）到直線的距離d==＜r=1，
得到直線與圓的位置關(guān)系是相交，
則直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)．
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式以及直線與圓相交的性質(zhì)，虛數(shù)單位i及其性質(zhì)，要求學(xué)生掌握用d與r的大小來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系．其中利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，判斷出方程的另一個(gè)根為1-i，是解答本題的關(guān)鍵．