Question

（2007•閔行區一模）（文）已知△ABC頂點的直角坐標分別為A（a，4）、B（0，b）、C（c，0）．
（1）若a=1，b=2，且

AB

•

AC

=0；求c的值；
（2）若虛數x=a+i是實系數方程x²-6x+2c=0的根，且b=0，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的三個點的坐標，寫出兩個向量的坐標，表示出兩個向量的數量積，得到關于c的方程，解方程即可．
（2）x=a-i也是實系數方程x²-6x+2c=0的根，由韋達定理，得a=3，c=5，寫出向量的坐標，求出兩個向量的夾角余弦，根據同角的三角函數關系求出結果．

解答：解：（1）

AB

=(-1， -2)，

AC

=(c-1， -4)（2分）
由 

AB

•

AC

=1-c+8=0，（4分）
解得 c=9（6分）
（2）x=a-i也是實系數方程x²-6x+2c=0的根，
由韋達定理，得a=3，c=5，（8分）

AB

=(-3， -4)，

AC

=(2， -4)（10分）
cosA=

AB • AC

| AB || AC |

=

-6+16

5•2 5

=

1

5

（12分）
∴sinA=

1-cos2A

=

1- 1 5

=

2 5

5

（14分）

點評：本題看出向量的數量積的運算和實系數一元二次方程的解的情況，本題解題的關鍵是對于實系數的一元二次方程求解時注意兩個復根之間的關系是互為共軛復數．