Question

已知圓x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0，直線l₁：x-3y-3=0
（1）求證：不論m取何值，圓心必在直線l₁上；
（2）與l₁平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，經(jīng)檢驗(yàn)，圓心必在直線l₁：x-3y-3=0上．
（2）設(shè)出與直線l₁平行的直線l₂的方程，求出圓心到直線l₂的距離，當(dāng)d＜r時(shí)，直線和圓相交，當(dāng)d=r，直線和圓相切，
當(dāng)d＞r，直線與圓相離．

解答：解：（1）圓x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0，
配方得（x-3m）²+[y-（m-1）]²=25，…（2分）
∴圓心為（3m，m-1），半徑為 5．…（3分）
∵3m-3（m-1）-3=0，∴不論m取何值，圓心必在直線l₁：x-3y-3=0上．…（5分）
（2）設(shè)與直線l₁平行的直線l₂：x-3y+b=0（b≠-3），…（6分）
則圓心到直線l₂的距離為d=

|3m-3(m-1)+b|

10

=

|3+b|

10

．…（8分）
∴當(dāng)d＜r，即

|3+b|

10

＜5，-5

10

-3＜b＜5

10

-3且b≠-3時(shí)，直線與圓相交；
當(dāng)d=r，即

|3+b|

10

=5，b=-5

10

-3或b=5

10

-3時(shí)，直線與圓相切；
當(dāng)d＞r，即

|3+b|

10

＞5，b＜-5

10

-3或b＞5

10

-3時(shí)，直線與圓相離．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法，屬于中檔題．