Question

已知函數f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，x≤0

，g（x）=clnx+b，且x=

2

是函數y=f（x）的極值點．
（Ⅰ）當b=-2時，求a的值，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）當b∈R時，函數y=f（x）-m有兩個零點，求實數m的取值范圍．
（Ⅲ）是否存在這樣的直線l，同時滿足：
①l是函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線
②l與函數y=g（x） 的圖象相切于點P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，如果存在，求實數b的取值范圍；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其導函數，利用x=

2

是函數y=f（x）的極值點對應f′(

2

)=0，求出a的值，進而求出函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）函數y=f（x）-m有兩個零點，轉化為函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，利用導函數求出函數
y=f（x）的單調區間，畫出草圖，結合圖象即可求出實數m的取值范圍．
（Ⅲ）利用導函數分別求出兩個函數的切線方程，利用方程相等，對應項系數相等即可求出關于實數b的等式，再借助于其導函數即可求出實數b的取值范圍．（注意范圍限制）．

解答：解：（Ⅰ）x＞0時，f（x）=（x²-2ax）e^x，∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x（1分）
由已知得，f′(

2

)=0，∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，解得a=1．（2分）
∴f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x．
當x∈(0，

2

)時，f'（x）＜0，當x∈(

2

，+∞)時，f'（x）＞0．又f（0）=0，（3分）
當b=1時，f（x）在（-∞，0），(

2

，+∞)上單調遞增，在(0，

2

)上單調遞減．（4分）
（Ⅱ）由（1）知，當x∈(0，

2

)時，f（x）單調遞減，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，0)
當x∈(

2

，+∞)時，f（x）單調遞增，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，+∞)．（2分）
要使函數y=f（x）-m有兩個零點，則函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
①當b＞0時，m=0或m=(2-

2

)e

2

；（3分）
②當b=0時，m∈((2-2

2

)e

2

，0)；（4分）
③當b＜0時，m∈((2-2

2

)e

2

，+∞)（5分）
（Ⅲ）假設存在，x＞0時，f9x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x
∴f（2）=0，f'（2）=2e²
函數f（x）的圖象在點（2，f（2）處的切線l的方程為：y=2e²（x-2）（1分）
直線l與函數g（x）的圖象相切于點P（m，n）m∈[e^-1，e]，
∴n=clnm+b，g'（x）=

c

x

，所以切線l的斜率為g'（m）=

c

m

所以切線l的方程為y-n=

c

m

（x-m）
即l的方程為：y=

c

m

x-c+b+clnm（2分）
得

c m =2e2 -c+b+clnm=-4e2

⇒

c=2e2m b=c-clnm-4e2

得b=2e²（m-mlnm-2）其中m∈[e^-1，e]（3分）
記h（m）=2e²（m-mlnm-2）（其中m∈[e^-1，e]
∴h'（m）=2e²（1-（lnm+1））=-2e²lnm
令h'（m）=0⇒m=1（4分）

m	（e-1，1）	1	（1，e）
h'（m）	+	0	-
h（m）		極大值-2e2

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．
∵m∈[e^-1，e]，∴h（m）∈[-4e²，-2e²]

所以實數b的取值范圍的集合：{b|-4e²≤b≤-2e²}（5分）

點評：本題第一問主要研究利用導數研究函數的單調性．利用導數研究函數的單調性時，一般結論是：導數大于0對應區間為原函數的遞增區間；導數小于0對應區間為原函數的遞減區間．