Question

已知函數，其中m，a均為實數．

（1）求的極值；

（2）設，若對任意的，恒成立，求的最小值；

（3）設，若對任意給定的，在區間上總存在，使得 成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）極大值為1，無極小值．（2）3 ?．（3）．

【解析】

試題分析：（1）求函數極值，先明確定義域為再求其導數為．由，得x = 1.分析導數在定義區間符號正負，確定函數先增后減，所以y =有極大值為1，無極小值．（2）不等式恒成立問題，先化簡不等式．化簡不等式的難點有兩個，一是絕對值，二是兩個參量可從函數單調性去絕對值，分析兩個函數，一是，二是.利用導數可知兩者都是增函數，故原不等式等價于，變量分離調整為,這又等價轉化為函數在區間上為減函數，即在上恒成立．繼續變量分離得恒成立，即.最后只需求函數在上最大值,就為的最小值.（3）本題含義為：對于函數在上值域中每一個值，函數在上總有兩個不同自變量與之對應相等．首先求出函數在上值域，然后根據函數在上必須不為單調函數且每段單調區間對應的值域都需包含.由在不單調得，由每段單調區間對應的值域都需包含得，.

試題解析：（1），令，得x = 1． 1分

列表如下：

x	（?∞，1）	1	（1，∞）
		0	?
g(x)	↗	極大值	↘

 

 

 

 

 

∵g(1) = 1，∴y =的極大值為1，無極小值． 3分

（2）當時，，．

∵在恒成立，∴在上為增函數． 4分

設，∵> 0在恒成立，

∴在上為增函數． 5分

設，則等價于，

即．

設，則u(x)在為減函數．

∴在（3，4）上恒成立 6分

∴恒成立．

設，∵=，x?[3，4]，

∴，∴< 0，為減函數．

∴在[3，4]上的最大值為v(3) = 3 ?． 8分

∴a≥3 ?，∴的最小值為3 ?． 9分

（3）由（1）知在上的值域為． 10分

∵，，

當時，在為減函數，不合題意． 11分

當時，，由題意知在不單調，

所以，即．① 12分

此時在上遞減，在上遞增，

∴，即，解得．②

由①②，得． 13分

∵，∴成立． 14分

下證存在，使得≥1．

取，先證，即證．③

設，則在時恒成立．

∴在時為增函數．∴，∴③成立．

再證≥1．

∵，∴時，命題成立．

綜上所述，的取值范圍為． 16分

考點：函數極值，不等式恒成立