Question

如圖所示，圖象為函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R)的部分圖象如圖所示
（1）求f（x）的解析式．
（2）已知g（α）=

3

f（α-

π

4

）+f（α），且tanα=

3

，求g（α）的值．

Answer 1

分析：（1）通過函數的圖象求出A，橫坐標的差值求出函數的周期，得到ω，利用函數經過的特殊點求解φ，得到函數的解析式．
（2）通過g（α）=

3

f（α-

π

4

）+f（α），利用兩角和與差的三角函數函數函數為α的三角函數，tanα=

3

，通過“1”的代換，求出g（x）的值．

解答：解：（1）由圖象知，A=1，

T

2

=

π

3

-(-

π

6

)=

π

2

，
∴T=π
∴ω=

2π

T

=2，
又函數的圖象經過（-

π

6

，0），
∴0=sin[2×(-

π

6

)+φ]，
∵|φ|＜

π

2

．
∴2•(-

π

6

)+φ=0，解得φ=

π

3

∴f(x)=sin(2x+

π

3

)…（6分）
（2）∵f(α)=sin(2α+

π

3

)
∴g(α)=

3

sin[2(α-

π

4

)+

π

3

]+sin(2α+

π

3

)
=

3

sin(2α-

π

6

)+sin(2α+

π

3

)
=

3

(sin2αcos

π

6

-cos2αsin

π

6

)+sin2αcos

π

3

+cos2αsin

π

3

=2sin2α…（10分）．
∵tanα=

3

∴sin2α=2sinαcosα=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

tan2α+1

=

2 3

4

=

3

2

，
∴g(α)=2sin2α=

3

…（12分）

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，同角三角函數的基本關系式的應用，考查計算能力．