Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，一個焦點F(-2,0)，且長軸長與短軸長的比為，

（1）求橢圓C的方程；

（2）設點M(m,0)在橢圓C的長軸上，設點P是橢圓上的任意一點，若當最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）利用待定系數法求橢圓方程;(2)利用點點距公式表示，借助點在曲線上，轉化為二次函數的最值問題.

試題解析：

（1）由題意知解得

所以橢圓方程為

（2）設P(x0,y0),且,

所以|PM|2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12

=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12(-4≤x0≤4)

所以|PM|2為關于x0的二次函數,開口向上,對稱軸為x0=4m.

由題意知,當x0=4時,|PM|2最小,所以4m≥4,所以m≥1.

又點M(m,0)在橢圓長軸上,所以1≤m≤4