Question

【題目】已知橢圓的離心率為，拋物線的準線被橢圓截得的線段長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，點分別是橢圓的左頂點、左焦點直線與橢圓交于不同的兩點（都在軸上方）．且．證明：直線過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點

【解析】

（1）根據題意可得1，a2＝2b2，求解即可.

（2）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式將條件轉化，即可求k，m的關系式，代入直線方程即可求出定點.

（1）由題意可知，拋物線的準線方程為，又橢圓被準線截得弦長為，

∴點在橢圓上，∴，① 又，∴，

∴，②，由①②聯立，解得，∴橢圓的標準方程為：，

（2）設直線，設，

把直線代入橢圓方程，整理可得，，即，

∴，，

∵，∵都在軸上方．且，∴，

∴，即，

整理可得，∴，

即，整理可得，

∴直線為，∴直線過定點.