Question

20．已知二次函數f（x）滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（2^x）在區間[-1，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設f（x）=ax²+bx+c，結合f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）令2^x=t，-1≤x≤1，結合二次函數的圖象和性質，可得f（2^x）在區間[-1，1]上的最大值與最小值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設f（x）=ax²+bx+c，-----------------------（1分）
由f（0）=1，得c=1，----------------------------------（2分）
由f（x+1）-f（x）=2x，得$\left\{\begin{array}{l}f（1）=f（0）=1\\ f（2）=f（1）+2=3\end{array}\right.$
解得a=1，b=-1--------------------------------------（5分）
所以，f（x）=x²-x+1--------------------------------（6分）
（Ⅱ）令2^x=t，-1≤x≤1，
∴$\frac{1}{2}≤t≤2$------------------------------（8分）
$f（t）={t^2}-t+1={（t-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}（\frac{1}{2}≤t≤2）$---------------------------（10分）
所以${[f（t）]_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}$，此時x=-1；
[f（t）]_max=f（2）=3，此時x=1------------------------------（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．