Question

在△ABC中，角A，B，c的對邊分別是a、b、c，已知向量

m

=（cosA，cos B），

n

=（a，2c-b），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）由兩向量的坐標及兩向量平行，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，再利用正弦定理化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，根據sinC不為0，求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（II）由a與cosA的值，利用余弦定理列出關系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，再由bc的最大值與sinA的值即可得到三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（I）∵向量

m

=（cosA，cos B），

n

=（a，2c-b），且

m

∥

n

，
∴acosB-（2c-b）cosA=0，
利用正弦定理化簡得：sinAcosB-（2sinC-sinB）cosA=0，
∴sinAcosB+cosAsinB-2sinCcosA=0，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
又0＜A＜π，則A=

π

3

；
（II）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：16=b²+c²-bc≥bc，即bc≤16，
當且僅當b=c=4時，上式取等號，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤4

3

，
則△ABC面積的最大值為4

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，基本不等式的運用，以及平面向量的數量積運算法則，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．