Question

已知函數f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（a＞0且a≠1）．
（1）試求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）解關于x的不等式f（x）≥log_a（3x）．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用對數函數的性質確定函數的定義域．
（2）根據奇函數的定義判斷即可．
（3）根據對數函數的單調性和對數的運算性質，進行分類討論，即可

解答： 解：（1）要是函數有意義，則

2+x＞0 2-x＞0

，
解得-2＜x＜2，
故函數f（x）的定義域為（-2，2）
（2）f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-[log_a（2+x）-log_a（2-x）]=-f（x），
所以函數f（x）為奇函數
（3）∵f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）=loga

2+x

2-x

，f（x）≥log_a（3x）．
∴loga

2+x

2-x

≥log_a（3x），0＜x＜2
當0＜a＜1時，

2+x

2-x

≤3x，解得

2

3

≤x≤1，
當a＞1時，

2+x

2-x

≥3x，解得1≤x＜2，或0＜x≤

2

3

，

點評：本題主要考查對數函數的性質和運算及不等式的解法，要求熟練掌握對數函數的圖象和性質是關鍵．