Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）證明：{a_n-1}是等比數列；
（2）求數列{S_n}的通項公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整數n．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過a_n=S_n-S_n-₁求出當≥2時，a_n的通項公式，進而可得出為常數，進而驗證a₁-1最后可確定{a_n-1}是等比數列；
（2）根據（1）{a_n-1}是以15為首項，公比為的等比數列可求得數列{a_n-1}的通項公式，進而求出數列{a_n}的通項公式．可知
{a_n}是由常數列和等比數列構成，進而求出S_n．進而代入S_n+1＞S_n兩邊求對數，進而可得答案．
解答：解：（1）當n=1時，a₁=-14；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-₁=-5a_n+5a_n-₁+1，
所以，
又a₁-1=-15≠0，所以數列{a_n-1}是等比數列；
（2）由（1）知：，
得，
從而（nÎN*）；
由S_n+₁＞S_n，得，，
最小正整數n=15．
點評：本題主要考查了數列等比關系的確定．等比數列的通向公式可以寫成，所以它與指數函數和對數函數有著密切的聯系，從而可以利用指數函數和對數函數的性質來研究等比數列．