Question

直線坐標系xoy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，直線l的參數方程為

x=-2+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數），直線l與曲線C的公共點為T．
（Ⅰ）求點T的極坐標；
（Ⅱ）過點T作直線l₁，若l₁被曲線C截得的線段長為2，求直線l₁的極坐標方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化曲線C的極坐標方程為直角坐標方程，將

x=-2+ 3 2 t y= 1 2 t

解方程可得t值，可得直角坐標，化為極坐標即可；
（Ⅱ）由題意可知直線l₁與x軸不垂直，設l₁的方程為y-

3

=k（x-1），化為一般式由直線與圓的位置關系可得

| 3 +k|

k2+1

=

3

，解k可得方程．

解答：解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ，∴直角坐標方程為：x²-4x+y²=0．
將

x=-2+ 3 2 t y= 1 2 t

代入可得(-2+

3

2

t)2-4（-2+

3

2

t）+(

1

2

t)2=0
整理可得t2-4

3

t+12=0，解得t=2

3

，
∴x=-2+

3

2

t=1，y=

1

2

t=

3

∴點T的坐標為（1，

3

），故極坐標為（2，

π

3

）
（Ⅱ）由題意可知直線l₁與x軸不垂直，
設l₁的方程為y-

3

=k（x-1），即kx-y+

3

-k=0
由（Ⅰ）得曲線C是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，
∵直線l₁被曲線C截得的線段長為2，
∴圓心到直線的求直線l₁的距離為

3

，
∴

| 3 +k|

k2+1

=

3

，解得k=0或k=

3

，
∴直線l₁的直角坐標方程為y=

3

或y=

3

x，
∴其極坐標方為ρsinθ=

3

或θ=

π

3

（ρ∈R）

點評：本題考查直線的參數方程，涉及簡單曲線的極坐標方程以及與直角坐標方程的互化，屬基礎題．