Question

【題目】已知橢圓：（）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線：與橢圓有且只有一個公共點.

（1）求橢圓的方程及點的坐標；

（2）設為坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點，且與直線交于點.證明：存在實數，使得，并求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析，.

【解析】

試題分析：（1）根據橢圓的短軸的端點與左右焦點構成等腰直角三角形，結合直線與橢圓只有一個交點，利用判別式等于零，即可求出橢圓的方程和點的坐標；（2）設出點的坐標，根據寫出的參數方程，代入橢圓的方程中，整理得出方程，在根據參數的幾何意義求出和，由求出的值.

試題解析：（1）設短軸一端點為，左、右焦點分別為，，其中，則；

由題意，為直角三角形，

∴，解得，

∴橢圓的方程為；

代人直線：，可得，

又直線與橢圓只有一個交點，則，解得，

∴橢圓的方程為；

由，解得，則，所以點的坐標為；

（2）由已知可設直線的方程為（）

由方程組可得，所以點的坐標為，.

設點的坐標為.

由方程組可得 ②

方程②的判別式為，由解得.

由②得，.

所以，

同理.

所以

故存在常數，使得.