Question

（附加題）（Ⅰ）過曲線y=x²（x≥0）上某一點A作一切線l，使之與曲線以及x軸所圍成的圖形的面積為，試求：
（1）切點A的坐標；
（2）過切點A的切線l的方程；
（3）上述所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求切點A的坐標，設切點為A（x，y），只須求出其斜率，再利用導數求出在切點處的導函數值即可，
（2）再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率得切線方程．最后利用切線l交x軸于 可使問題切點A的切線l的方程解決．
（3）欲求平面圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積，先將其化為：，最后利用不定積分求其體積即可．
解答：解：（1）設點A的坐標為（a，a²），過點A的切線的斜率為k=y'|_x=a=2a，
故過點A的切線l的方程為y-a²=2a（x-a），
即y=2ax-a²，令y=0，得，
則，，
∴
∴a=1
或解：=，
∴a=1
∴切點A的坐標為（1，1）（2）直線方程為y=2x-1
（3）l與x軸的交點為，
故=π
點評：本小題主要考查函定積分的簡單應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、直線方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．