Question

【題目】若存在實常數和，使得函數和對其公共定義域上的任意實數x都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數，，（為自然對數的底數），則（ ）

A.在內單調遞增；

B.和之間存在“隔離直線”，且的最小值為；

C.和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是；

D.和之間存在唯一的“隔離直線”.

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

令，利用導數可確定單調性，得到正確；

設，的隔離直線為，根據隔離直線定義可得不等式組對任意恒成立；分別在和兩種情況下討論滿足的條件，進而求得的范圍，得到正確，錯誤；

根據隔離直線過和的公共點，可假設隔離直線為；分別討論、和時，是否滿足恒成立，從而確定，再令，利用導數可證得恒成立，由此可確定隔離直線，則正確.

對于，，

，，

當時，，單調遞增，

，在內單調遞增，

正確；

對于，設，的隔離直線為，

則對任意恒成立，即對任意恒成立.

由對任意恒成立得：.

⑴若，則有符合題意；

⑵若則有對任意恒成立，

的對稱軸為，，；

又的對稱軸為，；

即，，；

同理可得：，；

綜上所述：，，正確，錯誤；

對于，函數和的圖象在處有公共點，

若存在和的隔離直線，那么該直線過這個公共點.

設隔離直線的斜率為，則隔離直線方程為，即，

則恒成立，

若，則不恒成立.

若，令，對稱軸為

在上單調遞增，

又，故時，不恒成立.

若，對稱軸為，

若恒成立，則，解得：.

此時直線方程為：，

下面證明，

令，則，

當時，；當時，；當時，；

當時，取到極小值，也是最小值，即，

，即，

函數和存在唯一的隔離直線，正確.

故選：.